Задание 5DF571: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 8; b = 3. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² − 12 · a · b + 36 · b² = (a − 6 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² − 12 · a · b + 36 · b² = |a − 6 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
8 − 18 = −10.
Получаем |−10| = 10.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 64; −12 · a · b = −288; 36 · b² = 324.
Сумма этих трёх слагаемых равна 100. 10² = 100, причём 10 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 10.