Задание 52A077: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 2; y = 3. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
16 = 2⁴.
Для основания 2: −4 = −4.
Для основания x: 10 = 10.
Для основания y: 2 = 2.
Подкоренное выражение равно x¹⁰ · y²16.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
x¹⁰ · y²16 = (y · x⁵4)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |y · x⁵4|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
964 = 24.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 9216, знаменатель — 16. Их отношение: 921616 = 576.
Получено 576. Квадрат найденного неотрицательного числа: 24² = 576. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 24.

Ответ: 24.