Задание 54927D: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(2⁴)³ = 2¹².
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: −7 + 12 = 5.
После сокращения получаем 2⁵.
2⁵ = 32.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 4096, знаменатель — 128. Их отношение: 4096128 = 32.
Получено то же значение 32. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 32.