Задание 5C0C5A: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 3; b = √3. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(b⁴)³ = b¹².
((a · b)¹²)⁻¹ = (a · b)⁻¹².
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 14 − 12 = 2.
Для основания b: 12 − 12 = 0.
После сокращения получаем a². Множитель с основанием b сокращается полностью: b⁰ = 1 при b ≠ 0.
При подстановке: 3² = 9.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 3486784401, знаменатель — 387420489. Их отношение: 3486784401387420489 = 9.
Получено то же значение 9. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 9.