Задание 530C50: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 5. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a²)⁶ = a¹².
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: −9 + 12 = 3.
После сокращения получаем a³.
При подстановке: 5³ = 125.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 244140625, знаменатель — 1953125. Их отношение: 2441406251953125 = 125.
Получено то же значение 125. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 125.