Задание 942957: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 7 + 711 = 7 · 11 + 711 = 8411; b = 311. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² + 10 · a · b + 25 · b² = (a + 5 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² + 10 · a · b + 25 · b² = |a + 5 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
1511 + 8411 = 9.
Получаем |9| = 9.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 7056121; 10 · a · b = 2520121; 25 · b² = 225121.
Сумма этих трёх слагаемых равна 81. 9² = 81, причём 9 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 9.