Задание 40F35B: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: a = 5. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
16 = 2⁴.
(a¹⁰)⁻¹ = a⁻¹⁰.
Для основания 2: 4 = 4.
Для основания a: 12 − 10 = 2.
Подкоренное выражение равно 16 · a².

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
16 · a² = (4 · a)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |4 · a|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
4 · 5 = 20.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 3906250000, знаменатель — 9765625. Их отношение: 39062500009765625 = 400.
Получено 400. Квадрат найденного неотрицательного числа: 20² = 400. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 20.

Ответ: 20.