Задание 45B659: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 10; y = 5. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
25 = 5².
(y⁴)⁻¹ = y⁻⁴.
Для основания 5: 2 = 2.
Для основания x: 2 = 2.
Для основания y: −4 = −4.
Подкоренное выражение равно 25 · x²y⁴.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
25 · x²y⁴ = (5 · xy²)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |5 · xy²|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
5025 = 2.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 2500, знаменатель — 625. Их отношение: 2500625 = 4.
Получено 4. Квадрат найденного неотрицательного числа: 2² = 4. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 2.

Ответ: 2.