Задание 383979: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 4; b = 3. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² − 8 · a · b + 16 · b² = (a − 4 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² − 8 · a · b + 16 · b² = |a − 4 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
4 − 12 = −8.
Получаем |−8| = 8.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 16; −8 · a · b = −96; 16 · b² = 144.
Сумма этих трёх слагаемых равна 64. 8² = 64, причём 8 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 8.