Задание 4FDDB2: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: a = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
25 = 5².
(a⁹)⁻¹ = a⁻⁹.
Для основания 5: 2 = 2.
Для основания a: 15 − 9 = 6.
Подкоренное выражение равно 25 · a⁶.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
25 · a⁶ = (5 · a³)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |5 · a³|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
5 · 2³ = 40.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 819200, знаменатель — 512. Их отношение: 819200512 = 1600.
Получено 1600. Квадрат найденного неотрицательного числа: 40² = 1600. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 40.

Ответ: 40.