Задание 75A243: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 5. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a⁷)² = a¹⁴.
(a¹²)⁻¹ = a⁻¹².
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 14 − 12 = 2.
После сокращения получаем a².
При подстановке: 5² = 25.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 6103515625, знаменатель — 244140625. Их отношение: 6103515625244140625 = 25.
Получено то же значение 25. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 25.