Задание FDD351: Законы сохранения

Дано: начальная скорость первого шарика v₀ и угол α. Найти горизонтальное перемещение d после столкновения.

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Начало координат — точка броска первого шарика; ось Ox горизонтальна по броску, Oy направлена вверх. Массу каждого шарика обозначим m. До удара на каждый действует только mg вниз; после удара на составное тело действует 2mg. Поэтому aₓ=0, aᵧ=−g. Во время короткого удара внешним импульсом тяжести пренебрегаем, а внутренние силы взаимно компенсируются. Импульс сохраняется именно при столкновении.
Пусть t₁ — время от броска до столкновения. До удара:
v₁ᵧ=v₀ sinα−gt₁; v₂ᵧ=−gt₁.
После удара вертикальная скорость по условию нулевая. Закон сохранения вертикального импульса даёт:
m(v₀ sinα−gt₁)+m(−gt₁)=0.
Отсюда v₀ sinα=2gt₁; t₁=v₀ sinα2g.
Высота столкновения равна высоте первого шарика:
h=v₀ sinα·t₁−gt₁²2.
Подстановка выражения t₁:
h=v₀²sin²α2g−v₀²sin²α8g=3v₀²sin²α8g.
Пусть τ — время от удара до земли. При нулевой начальной вертикальной скорости h=gτ²2. Поэтому:
τ²=2hg=3v₀²sin²α4g²; τ=√3·v₀ sinα2g.
Принимаем 0<α<90°, v₀>0, τ>0.
Горизонтальная скорость второго шарика до удара равна нулю. По сохранению горизонтального импульса:
mv₀ cosα=2mu; u=v₀ cosα2.
После удара горизонтальная внешняя сила отсутствует, поэтому эта составляющая скорости постоянна. Искомое перемещение:
d=uτ.
Подстановка выведенных выражений:
d=v₀ cosα2·√3·v₀ sinα2g=√3·v₀²sinα cosα4g.
Так как 2sinα cosα=sin2α, получаем d=√3·v₀²sin2α8g.
Числовых данных нет; размерность v₀², делённого на g, — длина.
Проверка: время свободного полёта равно √3·t₁, горизонтальная скорость после удара вдвое меньше первоначальной горизонтальной скорости первого шарика. Поэтому d=√32·v₀ cosα·t₁, что совпадает с формулой. Расстояние до столкновения в d не входит.

Ответ: d=√3·v₀²sin2α8g.