Задание B8E9D0: Законы сохранения

Дано: E=0,41 Дж, m=0,050 кг, b=0,5 м, α=30°. Найти L; g=10 м·с⁻².

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Ось Ox горизонтальна по направлению выстрела, Oy направлена вверх. В стволе на шарик действуют mg вниз, нормальная реакция N перпендикулярно стволу и сила упругости F_упр вдоль ствола наружу. Вдоль ствола ma_τ=F_упр−mg sinα, поперёк него N−mg cosα=0. Трения нет. В полёте остаётся только mg, поэтому aₓ=0, aᵧ=−g.
Во время движения по стволу шарик поднимается на b sinα. Нормальная реакция не совершает работы, энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика и его потенциальную энергию:
E=mv²2+mgb sinα.
Здесь v — скорость при вылете. Отсчитывая время полёта от вылета, для возвращения на высоту дула имеем:
0=v sinα·t−gt²2; t=2v sinαg,
где выбран ненулевой положительный корень.
Горизонтальное перемещение L=v cosα·t. Следовательно:
L=2v²sinα cosαg=v²sin2αg.
Таким образом, E=mgb sinα+mgL2sin2α. Принимаем 0<α<90°.
Сначала выражаем квадрат скорости из баланса энергии:
v²=2Em−2gb sinα.
Подстановка:
v²=2·0,41 Дж0,050 кг−2·10 м·с⁻²·0,5 м·0,5=11,4 м²·с⁻².
Теперь подставляем его в формулу дальности:
L=11,4 м²·с⁻²·sin60°10 м·с⁻²=0,57√3 м≈0,987 м.
Проверка: на подъём в стволе израсходовано 0,125 Дж, на кинетическую энергию — 0,285 Дж. Их сумма равна 0,410 Дж. При v≈3,376 м·с⁻¹ время полёта примерно 0,338 с, а горизонтальная скорость примерно 2,924 м·с⁻¹; произведение даёт 0,987 м.

Ответ: L≈0,987 м.