Задание 037654: Законы сохранения

Дано: v₁=900 м·с⁻¹ вперёд, v₂=100 м·с⁻¹ назад, ΔE=500000 Дж. Найти массу исходного снаряда M.

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Ось Ox направим по скорости снаряда перед взрывом, Oy — перпендикулярно ей в плоскости движения. Внешняя сила тяжести действует постоянно, однако её импульсом за короткое время взрыва пренебрегаем. Силы взрыва — внутренние. Поэтому импульс сохраняется во время разрыва, хотя суммарная кинетическая энергия увеличивается за счёт внутренней энергии заряда.
Обозначим массу целого снаряда M, его скорость v₀, а модули скоростей равных осколков — v₁ вперёд и v₂ назад. Масса каждого осколка равна M2. Проекции их скоростей: v₁ и −v₂.
Закон сохранения импульса:
Mv₀=M2v₁−M2v₂; v₀=v₁−v₂2.
Баланс кинетической энергии:
M(v₁²+v₂²)4−Mv₀²2=ΔE.
Из импульса v₂=v₁−2v₀. Подстановка в баланс энергии и раскрытие скобок дают:
ΔE=M4·(2v₁²−4v₁v₀+4v₀²)−Mv₀²2=M(v₁−v₀)²2.
Эквивалентная форма: ΔE=M(v₁+v₂)²8.
Из последней формулы:
M=8ΔE(v₁+v₂)².
Подстановка:
M=8·500000 Дж(900 м·с⁻¹+100 м·с⁻¹)²=4 кг.
Исходная скорость v₀=900−1002 м·с⁻¹=400 м·с⁻¹.
Проверка: каждый осколок имеет массу 2 кг; энергия осколков равна 820000 Дж, энергия целого снаряда — 320000 Дж, разность равна заданным 500000 Дж. В формуле прироста энергии складываются модули противоположных скоростей, а при вычислении импульса они вычитаются.

Ответ: 4 кг.