Задание EDA6E2: Законы сохранения

Дано: M=0,250 кг, m=0,010 кг, l=0,50 м. Найти минимальную скорость пули v₀; g=10 м·с⁻².

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. В нижней точке ось Ox направим по полёту пули, Oy — вверх. На шар действуют сила тяжести и натяжение нити, на пулю — сила тяжести и при ударе сила со стороны шара. За время короткого удара нить остаётся вертикальной; внешние силы не дают горизонтального импульса. Поэтому:
mv₀=(M+m)u,
где u — скорость составного тела непосредственно после удара. При застревании пули механическая энергия не сохраняется.
После удара на тело массой M+m действуют тяжесть вниз и T вдоль нити к подвесу. Радиальную ось Or направим к подвесу. В верхней точке обе силы направлены к центру; второй закон Ньютона:
T+(M+m)g=(M+m)v²l.
Нить может тянуть, но не толкать: T≥0. Для минимальной скорости T=0 именно в верхней точке, откуда v²=gl.
При дальнейшем движении после удара механическая энергия сохраняется: натяжение перпендикулярно скорости и работы не совершает. Между нижней и верхней точками перепад высоты равен 2l:
(M+m)u²2=(M+m)v²2+(M+m)g·2l.
Сокращая массу и подставляя v²=gl, получаем u²=5gl; u=√5gl.
Условие достаточное: при угле θ от нижней вертикали энергия даёт v_θ²=u²−2gl+2gl cosθ, а радиальное уравнение — T=(M+m)(v_θ²·l⁻¹+g cosθ). При u²=5gl имеем T=3(M+m)g(1+cosθ)≥0 на всей окружности.
Из сохранения импульса:
v₀=M+mm·√5gl.
Подстановка:
u²=5·10 м·с⁻²·0,50 м=25 м²·с⁻²; u=5 м·с⁻¹.
v₀=0,250 кг+0,010 кг0,010 кг·5 м·с⁻¹=130 м·с⁻¹.
Проверка: 0,010·130=0,260·5=1,3 кг·м·с⁻¹. После удара энергия равна 3,25 Дж; вверху потенциальная энергия равна 2,6 Дж, а кинетическая — 0,65 Дж. Их сумма также 3,25 Дж. Условие достижения верхней точки с нулевой скоростью было бы недостаточно: нить провисла бы раньше.

Ответ: 130 м·с⁻¹.