Задание E7211F: Законы сохранения

Дано: M=4 кг, v₀=400 м·с⁻¹, ΔE=0,5 МДж=500000 Дж. Найти скорость переднего осколка v₁.

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Ось Ox направим по скорости снаряда перед взрывом, Oy — перпендикулярно ей в плоскости движения. Внешняя сила тяжести действует постоянно, однако её импульсом за короткое время взрыва пренебрегаем. Силы взрыва — внутренние. Поэтому импульс сохраняется во время разрыва, хотя суммарная кинетическая энергия увеличивается за счёт внутренней энергии заряда.
Обозначим массу целого снаряда M, его скорость v₀, а модули скоростей равных осколков — v₁ вперёд и v₂ назад. Масса каждого осколка равна M2. Проекции их скоростей: v₁ и −v₂.
Закон сохранения импульса:
Mv₀=M2v₁−M2v₂; v₀=v₁−v₂2.
Баланс кинетической энергии:
M(v₁²+v₂²)4−Mv₀²2=ΔE.
Из импульса v₂=v₁−2v₀. Подстановка в баланс энергии и раскрытие скобок дают:
ΔE=M4·(2v₁²−4v₁v₀+4v₀²)−Mv₀²2=M(v₁−v₀)²2.
Эквивалентная форма: ΔE=M(v₁+v₂)²8.
Поскольку второй осколок летит назад, v₂>0 и v₁>2v₀. Поэтому выбираем положительную ветвь:
v₁=v₀+√2ΔEM.
Подстановка:
2ΔEM=2·500000 Дж4 кг=250000 м²·с⁻².
v₁=400 м·с⁻¹+500 м·с⁻¹=900 м·с⁻¹; v₂=900−800=100 м·с⁻¹.
Проверка: импульс до взрыва 1600 кг·м·с⁻¹; после — 2·900−2·100=1600 кг·м·с⁻¹. Энергия до 320000 Дж, после 820000 Дж; разность составляет 500000 Дж.

Ответ: 900 м·с⁻¹.