Задание E4E1A2: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(x²+0,25)(x+1)−1−x.

Область определения: x ≠ −1. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Множители (x + 1) и (−1 − x) противоположны, поэтому после сокращения y = −x² − 14, x ≠ −1. Это парабола с вершиной (0; −14), ветвями вниз и выколотой точкой (−1; −54).

2. Точки пересечения с y = kx удовлетворяют уравнению −x² − 14 = kx, то есть x² + kx + 14 = 0. Дискриминант D = k² − 1.

При D < 0 пересечений нет. При D = 0 получаем k = ±1 и единственный корень x = −k2. Для k = −1 корень равен 12, для k = 1 — −12. Оба корня отличаются от запрещённого −1, поэтому оба значения k подходят.

При D > 0 есть два различных корня. Ровно одно пересечение останется лишь тогда, когда один корень равен исключённому h = −1. Подставляем его: h² + kh + 14 = 0, откуда k = −h² + 14h = 54. Второй корень по произведению корней равен −14 и допустим.

Проверка: для k = 54 дискриминант равен 916 > 0; корни −1 и −14 различны. Первый удалён из графика, второй остаётся. Других способов получить ровно одну точку нет.

Ответ: k ∈ {−1; 1; 54}.