Задание 2F87A2: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=2|x−4|−x²+9x−20.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = −x² + 7x − 12 при x < 4. Выделяем квадрат: y = −(x − 72)² + 14. Вершина полной параболы: (72; 14), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = 72 ± √−m + 14; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (4; 0) выколота.

Ветвь 2: y = −x² + 11x − 28 при x ≥ 4. Выделяем квадрат: y = −(x − 112)² + 94. Вершина полной параболы: (112; 94), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = 112 ± √−m + 94; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (4; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это 0, 14, 94. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; 0): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; 14): по ветвям 2 + 2 = 4 точки.

m = 14: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (14; 94): по ветвям 0 + 2 = 2 точки.

m = 94: по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (94; +∞): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {0; 14}.