Задание 8228A6: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = 52x − 72 при x < 1. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 25m + 75; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (1; −1) выколота.

Ветвь 2: y = −52x + 4 при 1 ≤ x ≤ 3. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −25m + 85; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (1; 32) включена, (3; −72) включена.

Ветвь 3: y = 32x − 8 при x > 3. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 23m + 163; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; −72) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −72, −1, 32. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −72): по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m = −72: по ветвям 1 + 1 + 0 = 2 точки.

m ∈ (−72; −1): по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m = −1: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (−1; 32): по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m = 32: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (32; +∞): по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−72} ∪ [−1; 32].