Задание E30698: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 3 + 23 = 3 · 3 + 23 = 113; b = 13. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² + 8 · a · b + 16 · b² = (a + 4 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² + 8 · a · b + 16 · b² = |a + 4 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
43 + 113 = 5.
Получаем |5| = 5.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 1219; 8 · a · b = 889; 16 · b² = 169.
Сумма этих трёх слагаемых равна 25. 5² = 25, причём 5 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 5.