Задание DA269B: Статика

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем.
Гантель считаем абсолютно твёрдым телом, шарики — малыми по сравнению с R, стержень невесомым. Ось Ox направим вправо, Oy — вверх. На нижний шарик M действуют тяжесть Mg, реакция дна N₂ вверх и трение F_тр вправо. На верхний шарик m действуют тяжесть mg и реакция вертикальной стенки N₁ влево. Силы стержня внутренние для всей гантели.
Внешних касательных сил на верхнем шарике нет: стенка гладкая, поэтому N₁ строго горизонтальна. Условия равновесия всей гантели:
Ox: F_тр−N₁=0;
Oy: N₂−(M+m)g=0.
Следовательно, F_тр=N₁ и N₂=(M+m)g. Трение покоя не обязано равняться предельному: F_тр≤μN₂.
Запишем моменты относительно центра нижнего шарика. Линии действия N₂, F_тр и Mg проходят через эту точку и моментов не дают. Верхний шарик расположен на R правее и на R выше нижнего, поэтому плечи сил N₁ и mg одинаковы:
N₁R−mgR=0,
N₁=mg.
Теперь условие достаточного трения:
mg≤μ(M+m)g,
m≤μM+μm,
M≥m(1−μ)μ.
Подстановка данных:
M≥0,060 кг·(1−0,3)0,3=0,140 кг.
Проверка на границе: F_тр=N₁=0,60 Н, N₂=(0,140+0,060)·10=2 Н, μN₂=0,60 Н. Все силы и моменты уравновешены. При большей M доступное трение возрастает, а требуемая сила остаётся 0,60 Н; при меньшей M покой невозможен.

Ответ: M≥0,140 кг=140 г.