Задание DA1E75: Термодинамика

Модель: разреженные газы считаем идеальными. Система отсчёта связана с сосудом. Для расчёта состояния неподвижного газа механические оси и проекции сил не требуются: используем давление, объём и абсолютную температуру. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж·моль⁻¹·К⁻¹; при переводе температуры используем T = t + 273 К.
Первое начало термодинамики записываем в виде Q = ΔU + A: A — работа самого газа, положительная при расширении. Для одноатомного газа ΔU = 32νRΔT. В изохорном процессе A = 0, в изобарном A = νRΔT, а в адиабатном Q = 0. За полный цикл ΔU = 0, поэтому η = A циклаQ нагревателя = 1 − |Q холодильника|Q нагревателя. В знаменателе стоит только полученная положительная теплота, а не алгебраическая сумма теплот.
1. По p–T-диаграмме 1–2 и 3–4 — изохоры, поскольку их продолжения проходят через начало координат. Участки 2–3 и 4–1 — изобары. Дано T₂ = T₄ = kT₁, где k = 2. На первой изохоре p₂ = kp₁; следовательно, p₃ = kp₁, p₄ = p₁. На второй изохоре T₃÷T₄ = p₃÷p₄ = k, откуда T₃ = k²T₁.
2. Газ получает тепло на 1–2 и 2–3:
Q₁₂ = 32νRT₁(k − 1),
Q₂₃ = 52νRT₁(k² − k),
Qн = νRT₁(k − 1)(1,5 + 2,5k).
3. Работа на изохорах нулевая. На изобарах:
A₂₃ = νRT₁(k² − k), A₄₁ = νRT₁(1 − k),
A цикла = νRT₁(k − 1)²,
η = k − 11,5 + 2,5k.
Подстановка:
T₃ = 4T₁; η = 2 − 11,5 + 2,5·2 = 213 ≈ 15,38 %.
4. Проверка. В p–V-координатах цикл — прямоугольник с давлениями p₁ и kp₁, объёмами V₁ и kV₁. Его площадь (k−1)²p₁V₁ совпадает с найденной работой. Теплота на двух оставшихся участках отрицательна, поэтому они не входят в Qн.

Ответ: ≈ 15,38 %.