Задание D0D22F: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 5; b = √5. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(b⁸)² = b¹⁶.
((a · b)¹⁶)⁻¹ = (a · b)⁻¹⁶.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 18 − 16 = 2.
Для основания b: 16 − 16 = 0.
После сокращения получаем a². Множитель с основанием b сокращается полностью: b⁰ = 1 при b ≠ 0.
При подстановке: 5² = 25.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1490116119384765625, знаменатель — 59604644775390625. Их отношение: 149011611938476562559604644775390625 = 25.
Получено то же значение 25. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 25.