Задание CFC86C: Статика

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Ось Ox направим вправо, Oy — вверх. Ускорение свободного падения g=10 м·с⁻².

Систему отсчёта считаем инерциальной. Для этой задачи изменим направления осей: Ox направим вверх вдоль наклонной плоскости, Oy — по нормали от плоскости. Цилиндр считаем абсолютно твёрдым. Нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает.
На цилиндр действуют mg вниз, реакция N по нормали в точке контакта, натяжение T по верхней касательной вверх вдоль плоскости и сила трения покоя F_тр в точке контакта. Направление F_тр определим из уравнения моментов.

Равновесие в проекциях:
Ox: T+F_тр−mg sin α=0,
Oy: N−mg cos α=0.
Относительно центра mg и N момента не создают. Натяжение стремится повернуть цилиндр по часовой стрелке; для компенсации F_тр должна быть направлена вверх по плоскости:
F_тр·R−TR=0,
F_тр=T.
Тогда
T=F_тр=mg sin α2,
N=mg cos α.

Для трения покоя выполняется неравенство F_тр≤μN. Следовательно,
mg sin α2≤μmg cos α,
tg α≤2μ.
На отрезке 0°≤α<90° тангенс возрастает, поэтому максимальный угол задаёт равенство:
α_max=arctg(2μ).
Подстановка:
α_max=arctg(2·0,5)=45°.

Проверка при m=1 кг: N=5√2 Н, T=F_тр=5√22 Н=μN. При R=0,20 м моменты TR и F_тр·R равны. Масса и радиус сократились из условия на предельный угол.

Ответ: 45°.