Задание BBC367: Статика

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Ось Ox направим вправо, Oy — вверх. Ускорение свободного падения g=10 м·с⁻².

Тело считаем абсолютно твёрдым. Оно покоится, поэтому сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой неподвижной оси равны нулю. Положительные моменты направим против часовой стрелки.
Стержень невесом, малые закреплённые грузики рассматриваем вместе с ним, подвешенный груз M — как материальную точку. Нить невесома и нерастяжима, блок идеален, поэтому её натяжение T одинаково по обе стороны блока.
На груз M действуют T вверх и Mg вниз. На стержень с грузиками действуют m₁g вниз в C, m₂g вниз в B, натяжение T в B вдоль нити вверх и вправо, реакция шарнира с составляющими R_x и R_y в A.

Проекции условий равновесия:
груз, Oy: T−Mg=0,
стержень, Ox: R_x+T sin β=0,
стержень, Oy: R_y+T cos β−(m₁+m₂)g=0.
Значит, T=Mg, R_x направлена влево; R_y в этой задаче направлена вверх.

Пусть AB=l, AC=b. Плечи сил тяжести относительно A равны b sin α и l sin α. Плечо натяжения равно l sin(α+β): прямая BA наклонена влево от вертикали на α, а нить — вправо на β, поэтому угол между ними α+β. Моменты относительно A:
Tl sin(α+β)−m₁gb sin α−m₂gl sin α=0.
Подставляя T=Mg и собирая слагаемые с l:
l[M sin(α+β)−m₂sin α]=m₁b sin α,
l=m₁b sin αM sin(α+β)−m₂sin α.

Подстановка:
l=0,200 кг·0,25 м·sin30°0,100 кг·sin60°−0,100 кг·sin30°≈0,683 м=68,3 см.

Проверка: знаменатель положителен, l>b=25 см, значит C находится внутри AB. При найденной длине момент натяжения ≈0,592 Н·м, сумма моментов сил тяжести ≈0,250 Н·м+0,342 Н·м; небольшое отличие обусловлено округлением.

Ответ: 68,3 см.