Задание C69602: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=3−x+2x²+2x.

Область определения: x ≠ −2, x ≠ 0. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

В дробной части знаменатель равен x, умноженному на её числитель. Сокращение даёт y = 3 − 1x с прежними ограничениями. Получаем гиперболу с асимптотами x = 0, y = 3 и выколотой точкой (−2; 72).

2. Решим уравнение пересечения: 3 − 1x = m. При m = 3 оно невозможно, так как обратное ненулевому числу не равно нулю.

При m ≠ 3 существует ровно один кандидат x = 13 − m. Он ненулевой и будет исключён только при x = −2. Подстановка даёт m = 3 − 1−2 = 72.

Проверка: одно найденное значение — ордината горизонтальной асимптоты, второе — ордината единственной удалённой точки. Для всех остальных m найденный x допустим, поэтому пересечение есть.

Ответ: m ∈ {3; 72}.