Задание 68EB0C: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=5−x+5x²+5x.

Область определения: x ≠ −5, x ≠ 0. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

В дробной части знаменатель равен x, умноженному на её числитель. Сокращение даёт y = 5 − 1x с прежними ограничениями. Получаем гиперболу с асимптотами x = 0, y = 5 и выколотой точкой (−5; 265).

2. Решим уравнение пересечения: 5 − 1x = m. При m = 5 оно невозможно, так как обратное ненулевому числу не равно нулю.

При m ≠ 5 существует ровно один кандидат x = 15 − m. Он ненулевой и будет исключён только при x = −5. Подстановка даёт m = 5 − 1−5 = 265.

Проверка: одно найденное значение — ордината горизонтальной асимптоты, второе — ордината единственной удалённой точки. Для всех остальных m найденный x допустим, поэтому пересечение есть.

Ответ: m ∈ {5; 265}.