Задание C5D1E4: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
6 = 2 · 3.
(6⁷)⁻¹ = 6⁻⁷.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: −5 + 13 − 7 = 1.
Для основания 3: −5 + 13 − 7 = 1.
После сокращения получаем 2 · 3.
2 · 3 = 6.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 13060694016, знаменатель — 2176782336. Их отношение: 130606940162176782336 = 6.
Получено то же значение 6. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 6.