Задание 5030EA: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 6; y = 3. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
9 = 3².
(y⁴)⁻¹ = y⁻⁴.
Для основания 3: 2 = 2.
Для основания x: 2 = 2.
Для основания y: −4 = −4.
Подкоренное выражение равно 9 · x²y⁴.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
9 · x²y⁴ = (3 · xy²)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |3 · xy²|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
189 = 2.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 324, знаменатель — 81. Их отношение: 32481 = 4.
Получено 4. Квадрат найденного неотрицательного числа: 2² = 4. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 2.

Ответ: 2.