Задание 58AC2F: Законы сохранения

Дано: масса ствола M=1000 кг. Нужно определить массу снаряда m. Долю энергии, обозначенную в исходном условии как h, далее обозначаем η, чтобы отличать её от высоты выстрела h=5 м.

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Ось Ox направим по выстрелу, Oy — вверх. На ствол действуют сила тяжести, реакция крепления, сила давления газов и при отдаче сила пружины; на снаряд после вылета — только сила тяжести. За короткое время выстрела горизонтальным импульсом внешних сил пренебрегаем по сравнению с импульсом давления газов. Поэтому для ствола и снаряда сохраняется горизонтальный импульс. Крепление допускает указанную в условии отдачу ствола.
Пусть v — начальная скорость снаряда, V — модуль скорости отдачи ствола, h=5 м, L=600 м, x=1 м, k=6000 Н·м⁻¹, η=16. При полёте снаряда aₓ=0, aᵧ=−g; g=10 м·с⁻².
Из вертикального падения h=gt²2 и горизонтального движения L=vt:
t²=2hg; v=Lt.
Подстановка:
t²=2·5 м10 м·с⁻²=1 с²; t=1 с; v=600 м1 с=600 м·с⁻¹.
Если m — масса снаряда, M — масса ствола, то закон сохранения импульса даёт:
mv−MV=0; V=mvM.
По условию в пружину переходит только доля η энергии отдачи:
kx²2=η·MV²2.
Подставляя V, получаем kx²=ηm²v²M.
Выражаем квадрат массы снаряда:
m²=Mkx²ηv².
Подстановка:
m²=1000 кг·6000 Н·м⁻¹·(1 м)²16·(600 м·с⁻¹)²=100 кг².
Масса положительна, поэтому m=√100 кг=10 кг.
Проверка: импульс снаряда 6000 кг·м·с⁻¹ соответствует скорости отдачи ствола 6 м·с⁻¹. Энергия отдачи 18000 Дж, энергия пружины 3000 Дж; их отношение равно заданному η.

Ответ: 10 кг.