Задание A56663: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 311; b = 5 + 1011 = 5 · 11 + 1011 = 6511. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
16 · a² + 8 · a · b + b² = (4 · a + b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√16 · a² + 8 · a · b + b² = |4 · a + b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
1211 + 6511 = 7.
Получаем |7| = 7.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
16 · a² = 144121; 8 · a · b = 1560121; b² = 4225121.
Сумма этих трёх слагаемых равна 49. 7² = 49, причём 7 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 7.