Задание A3F87E: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны значения a = 7 + 25 = 7 · 5 + 25 = 375; b = 35. Подкоренное выражение — полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы или разности, включая удвоенное произведение слагаемых.

2. Разложим подкоренное выражение:
a² + 12 · a · b + 36 · b² = (a + 6 · b)².
Равенство проверяется раскрытием скобок: квадрат каждого слагаемого и их удвоенное произведение дают исходные три члена.

3. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √u² = |u|. Следовательно,
√a² + 12 · a · b + 36 · b² = |a + 6 · b|.
Подставим данные в выражение внутри модуля:
185 + 375 = 11.
Получаем |11| = 11.

4. Проверка непосредственным вычислением исходного подкоренного выражения:
a² = 136925; 12 · a · b = 133225; 36 · b² = 32425.
Сумма этих трёх слагаемых равна 121. 11² = 121, причём 11 неотрицательно. Значит, выбран именно арифметический корень.

Ответ: 11.