Задание A012B5: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 7; b = √7. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(b⁵)³ = b¹⁵.
((a · b)¹⁵)⁻¹ = (a · b)⁻¹⁵.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 17 − 15 = 2.
Для основания b: 15 − 15 = 0.
После сокращения получаем a². Множитель с основанием b сокращается полностью: b⁰ = 1 при b ≠ 0.
При подстановке: 7² = 49.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 191581231380566414401 · √7, знаменатель — 3909821048582988049 · √7. Их отношение: 191581231380566414401 · √73909821048582988049 · √7 = 49.
Получено то же значение 49. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 49.