Задание D3B8B2: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
9 = 3².
45 = 3² · 5.
(45⁶)⁻¹ = 45⁻⁶.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 3: 12 − 12 = 0.
Для основания 5: 9 − 6 = 3.
После сокращения получаем 5³.
5³ = 125.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1037970703125, знаменатель — 8303765625. Их отношение: 10379707031258303765625 = 125.
Получено то же значение 125. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 125.