Задание 9FAA8C: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: a = 3. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
4 = 2².
(a¹⁴)⁻¹ = a⁻¹⁴.
Для основания 2: 2 = 2.
Для основания a: 20 − 14 = 6.
Подкоренное выражение равно 4 · a⁶.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
4 · a⁶ = (2 · a³)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |2 · a³|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
2 · 3³ = 54.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 13947137604, знаменатель — 4782969. Их отношение: 139471376044782969 = 2916.
Получено 2916. Квадрат найденного неотрицательного числа: 54² = 2916. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 54.

Ответ: 54.