Задание 92BB8E: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(7⁻¹⁴)⁻¹ = 7¹⁴.
(7¹³)⁻¹ = 7⁻¹³.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 7: 14 − 13 = 1.
После сокращения получаем 7.
7 = 7.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 678223072849, знаменатель — 96889010407. Их отношение: 67822307284996889010407 = 7.
Получено то же значение 7. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 7.