Задание 929129: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 7. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a²)⁻⁸ = a⁻¹⁶.
(a⁻¹⁸)⁻¹ = a¹⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: −16 + 18 = 2.
После сокращения получаем a².
При подстановке: 7² = 49.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1628413597910449, знаменатель — 33232930569601. Их отношение: 162841359791044933232930569601 = 49.
Получено то же значение 49. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 49.