Задание E7732F: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(5⁹)⁻¹ = 5⁻⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 5: −3 + 14 − 9 = 2.
После сокращения получаем 5².
5² = 25.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 6103515625, знаменатель — 244140625. Их отношение: 6103515625244140625 = 25.
Получено то же значение 25. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 25.