Задание 8F513B: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 5; y = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
25 = 5².
Для основания 5: −2 = −2.
Для основания x: 6 = 6.
Для основания y: 4 = 4.
Подкоренное выражение равно x⁶ · y⁴25.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
x⁶ · y⁴25 = (x³ · y²5)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |x³ · y²5|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
5005 = 100.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 250000, знаменатель — 25. Их отношение: 25000025 = 10000.
Получено 10000. Квадрат найденного неотрицательного числа: 100² = 10000. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 100.

Ответ: 100.