Задание 46638B: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
4 = 2².
20 = 2² · 5.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 14 − 12 = 2.
Для основания 5: 7 − 5 = 2.
После сокращения получаем 2² · 5².
2² · 5² = 100.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1280000000, знаменатель — 12800000. Их отношение: 128000000012800000 = 100.
Получено то же значение 100. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 100.