Задание 88406D: Законы сохранения

Дано: M=2 кг, v₁=900 м·с⁻¹, v₂=100 м·с⁻¹; осколки равные и движутся в противоположных направлениях. Найти ΔE.

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Ось Ox направим по скорости снаряда перед взрывом, Oy — перпендикулярно ей в плоскости движения. Внешняя сила тяжести действует постоянно, однако её импульсом за короткое время взрыва пренебрегаем. Силы взрыва — внутренние. Поэтому импульс сохраняется во время разрыва, хотя суммарная кинетическая энергия увеличивается за счёт внутренней энергии заряда.
Обозначим массу целого снаряда M, его скорость v₀, а модули скоростей равных осколков — v₁ вперёд и v₂ назад. Масса каждого осколка равна M2. Проекции их скоростей: v₁ и −v₂.
Закон сохранения импульса:
Mv₀=M2v₁−M2v₂; v₀=v₁−v₂2.
Баланс кинетической энергии:
M(v₁²+v₂²)4−Mv₀²2=ΔE.
Из импульса v₂=v₁−2v₀. Подстановка в баланс энергии и раскрытие скобок дают:
ΔE=M4·(2v₁²−4v₁v₀+4v₀²)−Mv₀²2=M(v₁−v₀)²2.
Эквивалентная форма: ΔE=M(v₁+v₂)²8.
Подстановка в выражение прироста энергии:
ΔE=2 кг·(900 м·с⁻¹+100 м·с⁻¹)²8=250000 Дж=0,25 МДж.
Проверка прямым вычислением: v₀=900−1002 м·с⁻¹=400 м·с⁻¹. Начальная энергия равна 160000 Дж. Каждый осколок имеет массу 1 кг, суммарная энергия осколков равна 405000+5000=410000 Дж. Разность 410000−160000=250000 Дж согласуется с ответом. Импульсы также совпадают: 2·400=1·900−1·100=800 кг·м·с⁻¹.

Ответ: 0,25 МДж.