Задание 01DB3F: Законы сохранения

Дано: m=1 кг, R=2 м, h=2,5 м, сила давления кубика на стенку F=5 Н. Найти начальную высоту H; g=10 м·с⁻².
Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Ось Ox горизонтальна, Oy направлена вверх. Для точки на петле радиальную ось Or направим от кубика к центру O, касательную Ot — по движению. На кубик действуют mg вниз и нормальная реакция N к центру петли. По третьему закону Ньютона N=F; F — сила кубика на стенку, а N — противоположная сила стенки на кубик.
Центр петли находится на высоте R. Если θ — угол между вертикалью вниз и направлением к центру от рассматриваемой точки, то cosθ=h−RR. Радиальная проекция второго закона Ньютона:
N+mg cosθ=mv²R.
Отсюда, с учётом N=F:
v²=FRm+g(h−R).
Подстановка:
v²=5 Н·2 м1 кг+10 м·с⁻²·(2,5 м−2 м)=15 м²·с⁻².
Трение отсутствует, реакция гладкой горки и петли перпендикулярна скорости и не совершает работы. Поэтому механическая энергия сохраняется:
mgH=mgh+mv²2.
Следовательно, H=h+v²2g.
Подстановка:
H=2,5 м+15 м²·с⁻²2·10 м·с⁻²=3,25 м.
Проверка: при этой высоте энергия в рассматриваемой точке равна 25+7,5=32,5 Дж, как начальная энергия. Радиальная сила равна 5+2,5=7,5 Н, что совпадает с mv²·R⁻¹. Кубик достигает заданной точки до отрыва: высота последующего отрыва (2H+R)·3⁻¹≈2,833 м>2,5 м. Полный оборот условием не требуется.

Ответ: 3,25 м.