Задание 863CB6: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(2⁸)⁻¹ = 2⁻⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: −7 + 17 − 8 = 2.
После сокращения получаем 2².
2² = 4.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 131072, знаменатель — 32768. Их отношение: 13107232768 = 4.
Получено то же значение 4. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 4.