Задание 68A7BC: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 4. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a⁷)³ = a²¹.
(a²⁸)⁻¹ = a⁻²⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 21 + 10 − 28 = 3.
После сокращения получаем a³.
При подстановке: 4³ = 64.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 4611686018427387904, знаменатель — 72057594037927936. Их отношение: 461168601842738790472057594037927936 = 64.
Получено то же значение 64. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 64.