Задание 450B16: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 5; b = √5. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(b⁹)² = b¹⁸.
((a · b)¹⁸)⁻¹ = (a · b)⁻¹⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 21 − 18 = 3.
Для основания b: 18 − 18 = 0.
После сокращения получаем a³. Множитель с основанием b сокращается полностью: b⁰ = 1 при b ≠ 0.
При подстановке: 5³ = 125.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 931322574615478515625, знаменатель — 7450580596923828125. Их отношение: 9313225746154785156257450580596923828125 = 125.
Получено то же значение 125. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 125.