Задание 4296C4: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = 3x − 3 при x < 2. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 13m + 1; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (2; 3) выколота.

Ветвь 2: y = −3x + 172 при 2 ≤ x ≤ 3. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −13m + 176; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (2; 52) включена, (3; −12) включена.

Ветвь 3: y = 72x − 11 при x > 3. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 27m + 227; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; −12) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −12, 52, 3. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −12): по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m = −12: по ветвям 1 + 1 + 0 = 2 точки.

m ∈ (−12; 52): по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m = 52: по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m ∈ (52; 3): по ветвям 1 + 0 + 1 = 2 точки.

m = 3: по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (3; +∞): по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {−12} ∪ (52; 3).