Задание 35020B: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=5|x−2|−x²+5x−6.

Область определения: все действительные числа.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = −x² + 4 при x < 2. Выделяем квадрат: y = −(x)² + 4. Вершина полной параболы: (0; 4), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = ±√−m + 4; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (2; 0) выколота.

Ветвь 2: y = −x² + 10x − 16 при x ≥ 2. Выделяем квадрат: y = −(x − 5)² + 9. Вершина полной параболы: (5; 9), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = 5 ± √−m + 9; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (2; 0) включена.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это 0, 4, 9. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; 0): по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m = 0: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (0; 4): по ветвям 2 + 2 = 4 точки.

m = 4: по ветвям 1 + 2 = 3 точки.

m ∈ (4; 9): по ветвям 0 + 2 = 2 точки.

m = 9: по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m ∈ (9; +∞): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ {0; 4}.