Задание 60B2BE: Законы сохранения

Дано: масса снаряда m=10 кг. Нужно определить массу ствола M.

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Ось Ox направим по выстрелу, Oy — вверх. На ствол действуют сила тяжести, реакция крепления, сила давления газов и при отдаче сила пружины; на снаряд после вылета — только сила тяжести. За короткое время выстрела горизонтальным импульсом внешних сил пренебрегаем по сравнению с импульсом давления газов. Поэтому для ствола и снаряда сохраняется горизонтальный импульс. Крепление допускает указанную в условии отдачу ствола.
Пусть v — начальная скорость снаряда, V — модуль скорости отдачи ствола, h=5 м, L=600 м, x=1 м, k=6000 Н·м⁻¹, η=16. При полёте снаряда aₓ=0, aᵧ=−g; g=10 м·с⁻².
Из вертикального падения h=gt²2 и горизонтального движения L=vt:
t²=2hg; v=Lt.
Подстановка:
t²=2·5 м10 м·с⁻²=1 с²; t=1 с; v=600 м1 с=600 м·с⁻¹.
Если m — масса снаряда, M — масса ствола, то закон сохранения импульса даёт:
mv−MV=0; V=mvM.
По условию в пружину переходит только доля η энергии отдачи:
kx²2=η·MV²2.
Подставляя V, получаем kx²=ηm²v²M.
Выражаем массу ствола:
M=ηm²v²kx².
Подстановка:
M=16·(10 кг)²·(600 м·с⁻¹)²6000 Н·м⁻¹·(1 м)²=1000 кг.
Проверка: V=10·6001000 м·с⁻¹=6 м·с⁻¹. Энергия отдачи равна 18000 Дж, её шестая часть — 3000 Дж. Энергия пружины также равна 3000 Дж.

Ответ: 1000 кг.