Задание 4D2F62: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 3. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a³)⁶ = a¹⁸.
(a¹⁷)⁻¹ = a⁻¹⁷.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 18 + 3 − 17 = 4.
После сокращения получаем a⁴.
При подстановке: 3⁴ = 81.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 10460353203, знаменатель — 129140163. Их отношение: 10460353203129140163 = 81.
Получено то же значение 81. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 81.