Задание 44D064: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
10 = 2 · 5.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 5 + 5 − 2 − 4 = 4.
Для основания 5: 5 − 4 = 1.
После сокращения получаем 2⁴ · 5.
2⁴ · 5 = 80.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 3200000, знаменатель — 40000. Их отношение: 320000040000 = 80.
Получено то же значение 80. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 80.